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De nombreuses recherches en finance mathématiques tentent de capter les phénomènes de volatilité. La gestion des risques, ou encore le pricing d’options démontrent l’importance  de sa modélisation.

Une volatilité utile 

L’étude de la volatilité historique correspond traditionnellement à l’écart-type des variations de cours. Il s’agit donc d’une analyse basée sur les fluctuations passées d’un titre. La volatilité historique a donc très peu d’intérêt sur la prévision des cours.

L’autre grand type de volatilité existant est la volatilité implicite. Pour la calculer, on utilise en général la méthode de Black-Scholes ou celle de Newton-Rapton. Cette volatilité est pertinente en pratique car elle permet de modéliser les fluctuations des cours futurs. Cependant, on peut s’interroger sur la pertinence des modèles utilisant la volatilité implicite. En effet, selon le principe de la volatilité implicite, on extrait la formule de notre modèle à partir du marché, et non pas l’opposé. Par conséquent, les modèles utilisés sont erronés, dû aux nombreuses conditions restrictives qui ne correspondent pas à la réalité.

Des méthodes modernesCoton En Coton Camaïeu Débardeur Camaïeu Débardeur Débardeur En Femme Femme Camaïeu Femme QxWrBCEdoe

Il existe de nombreux modèles permettant de modéliser la volatilité. Les modèles à volatilité stochastique, utilisés en pratique correspondent aux avancées les plus récentes. Dans ces modèles, la volatilité est considérée comme un processus stochastique. L’avantage de cette approche est que la volatilité permet le pricing d’options tout en étant non observable, et que cette dernière peut subir de fortes variations à la hausse et à la baisse sur une même période.

De nombreuses extensions des modèles à volatilité stochastique sont utilisées, comme la Variance Autorégréssive Aléatoire (ARV : Autoregressive Random Variance) qui est une forme discrète d’un modèle à volatilité stochastique.  Les modèles ARV ont été étudiés notamment par Viggins (1987), Chesney et Scott (1989), Melino et Turnbull (1990) et Duffie et Singleton (1993).

Dans la pratique, on peut également utiliser des modèles bivariés à volatilité stochastique. Dans ce cas, on considère la volatilité comme un processus de diffusion, permettant d’obtenir une meilleure approche du modèle de Black & Scholes.

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Parmi les méthodes modernes, l’implémentation d’une méthode de filtrage non linéaire permet de calculer les paramètres de la volatilité stochastique. De plus, afin que la matrice des covariances ne tende pas vers l’infini, il faudrait ajouter une fonction de pénalité à la fonction de vraisemblance.

Capter les phénomènes non-linéaires

Parmi les modèles non-linéaires, on utilise les modèles LSTGARCH (Logistic Smooth Transition GARCH) de Gonzales-Rivera (1998) et ANSTGARCH (Asymmetric Nonlinear Smooth Transition Model) de Nam, Vahid et Anderson (1999). Ce dernier modèle permet d’obtenir des réponses non symétriques de la variance conditionnelle aux innovations passées, sans changement abrupt de régime.  Ce modèle répond aux limites du modèle GJR-GARCH de Glosten, Jagannathan et Runkle (1993) qui modélise deux régimes pour la variance conditionnelle dont le basculement est déterminé par le signe de l’innovation passée. De façon plus générale, le modèle QGARCH (Quadratic GARCH) de Engle et Ng (1993) et Sentana (1995) propose des asymétries dans la réponse de la volatilité conditionnelle aux innovations. De manière analogue, ces asymétries peuvent être modélisées à partir des modèles à seuils, tels que les modèles TARCH (1991) et TGARCH (1994) de Zakoian (respectivement : Threshold ARCH et Threshold GARCH). Un autre modèle utilisé est le APARCH de Ding, Granger et Engle (1993). Celui-ci permet notamment d’obtenir d’autres modèles sous certaines conditions particulières ; on peut y retrouver le modèle ARCH, GARCH ou encore le GJR-GARCH. De plus, le modèle EGARCH (Exponential Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedastic) de Nelson (1991) étudie également les phénomènes asymétriques de la variance en distinguant les chocs négatifs, des chocs positifs du résidu. Ces nombreux modèles non-linéaires sont donc utilisés comme extension des modèles ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)  de Engle (1982) et GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) de Bollerslev (1986). En effet, le modèle GARCH indique que la variance est combinaison linéaire du carré des derniers résidus observés et des dernières variances constatées. Ainsi, le modèle ARCH permet de modéliser des variances évoluant au cours du temps, en tenant compte des moments où le marché connaît des périodes calmes et des périodes turbulentes, ainsi que de l’épaisseur des queues (leptokurtose). Ce dernier modèle est donc uniquement fonction des derniers termes d’erreurs observés au carré.

La caducité des modèles linéaires

L’utilisation de ces modèles non-linéaires répond aux limites des modèles linéaires suivants. Le modèle ARIMA(p,d,q) (Processus Autorégressif de Moyenne Mobile Intégrés) correspond à la forme la plus généralisée de Box-Jenkins, et permet de modéliser des processus stochastiques non stationnaires par rapport à la moyenne, en utilisant un processus différencié d fois stationnaire. Ce modèle généralise donc le modèle ARMA(p,q) qui est une combinaison linéaire de variables explicatives retardées et de variables dépendantes retardées. Or, le modèle ARMA est lui même une combinaison du processus AR (Autorégressif) et du processus MA (Moyenne Mobile). Le modèle MA suggère que la valeur de référence dépend de la valeur de référence précédente et la perturbation correspondant à la mesure précédente. Enfin, le modèle AR révèle que la valeur présente est uniquement déterminée par la ou les valeurs précédentes.

Avant l’extension des modèles non-linéaires, de nombreux modèles  ARCH et GARCH linéaires se sont développés. C’est le cas des modèles GARCH-M de Engle, Lilien et Robbins (1987)où la variance conditionnelle est une variable explicative de la moyenne conditionnelle. On note également les modèles ARMA-GARCH de Weiss (1986) qui introduisent dans la variance conditionnelle des effets additionnels de variables expliquées. Enfin, les modèles IGARCH(p,q) de Engle et Bollerslev (1986) correspondent à un effet de persistance dans la variance : un choc sur la variance conditionnelle présente se répercute sur toutes les valeurs futures prévues.

Des modèles précis ?

En dépit des nombreuses avancées des modèles permettant de capter la volatilité, il semble évident qu’aucun modèle n’est capable de donner une valeur exacte de la volatilité. En effet, de multiples restrictions impliquent que les modèles ne peuvent que tendre vers la volatilité réelle. On ne peut cependant pas ignorer ces modèles puisqu’ils nous permettent d’obtenir des approximations de la volatilité. Seul compte la vraie cotation sortie par le marché : ce sont les acteurs des marchés qui déterminent à un instant t la mesure de la volatilité. Evidemment, aucun modèle n’est en mesure de prédire les actions d’achats et de ventes des acteurs des marchés financiers. Ainsi, l’utilisation de ces modèles, y compris ceux ayant les conditions les moins restrictives et les plus représentatives de la réalité, nous indique qu’il convient de ne pas considérer les valeurs de la volatilité comme des valeurs exactes, mais comme des chiffres indicateurs.

Adrien TROCMÉ

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